مقارنة باستخدام محاكاة مونت كارلو للأداء الإحصائي لمقدِّرات الانحدار الخطي المتينة المختارة في ظل أحجام عينات ونِسَب مختلفة من تلوث البيانات بالقيم الشاذة

• محمد عبدالمولى رحيل

  القسم العام، كلية العلوم، جامعة بنغازي، بنغازي، ليبيا

  Author

• زادم راف الله صالح

  قسم الرياضيات، كلية التربية، جامعة بنغازي، بنغازي، ليبيا

  Author

تهدف هذه الدراسة إلى مقارنة الأداء الإحصائي لكل من طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS)، وتقدير Huber من نوع M ، وطريقة المربعات الأقل تقليمًا (LTS)، وتقدير  MM، وذلك في ظل اختلاف أحجام العينات ونِسَب تلوث البيانات بالقيم الشاذة، باستخدام محاكاة مونت كارلو. يتضمن نموذج توليد البيانات متغيرين تفسيريين مستقلين يتبعان التوزيع الطبيعي المعياري، مع استخدام المعلمات الحقيقية β₀ = 2 وβ₁ = 3 وβ₂ = 2. وقد جرى النظر في أربعة أحجام للعينات (n = 40، 60، 100، 200) وأربع نسب للتلوث (π = 0%، 5%، 10%، 20%)، مما نتج عنه ست عشرة حالة محاكاة. وأُدخلت القيم الشاذة الرأسية من خلال حد الخطأ في نموذج الانحدار، وتم تكرار كل حالة محاكاة 1000 مرة. وتم تقييم أداء المقدِّرات باستخدام التحيز، والتباين، ومتوسط مربع الخطأ (MSE)، والجذر التربيعي لمتوسط مربع الخطأ (RMSE)، والكفاءة النسبية القائمة على MSE. أظهرت النتائج أن طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS) حققت أدنى قيم لمتوسط مربع الخطأ (MSE) والجذر التربيعي لمتوسط مربع الخطأ (RMSE) في حالات عدم وجود تلوث، إلا أن أداءها تدهور بصورة ملحوظة مع زيادة نسبة التلوث. وفي المقابل، أظهرت المقدِّرات المتينة استقرارًا أكبر في ظل وجود القيم الشاذة؛ حيث كان تقدير Huber من نوع M منافسًا عند مستويات التلوث المنخفضة، بينما أصبحت طريقة المربعات الأقل تقليمًا (LTS) أكثر تنافسية مع زيادة مستوى التلوث. كما أظهر تقدير MM بصورة عامة أدنى قيم لمتوسط مربع الخطأ (MSE) والجذر التربيعي لمتوسط مربع الخطأ (RMSE)، وأعلى كفاءة نسبية في ظل حالات التلوث. وأسهمت زيادة حجم العينة في تحسين دقة التقدير لجميع المقدِّرات، لكنها لم تُلغِ حساسية طريقة المربعات الصغرى العادية للقيم الشاذة. وتشير هذه النتائج إلى أن اختيار المقدِّر المناسب ينبغي أن يستند إلى خصائص العينة، مع مراعاة التوقع بوجود القيم الشاذة ودرجة انتشارها.

1. محمد عبدالمولى رحيل، القسم العام، كلية العلوم، جامعة بنغازي، بنغازي، ليبيا

   ¹القسم العام، كلية العلوم، جامعة بنغازي، بنغازي، ليبيا

2. زادم راف الله صالح، قسم الرياضيات، كلية التربية، جامعة بنغازي، بنغازي، ليبيا

   قسم الرياضيات، كلية التربية، جامعة بنغازي، بنغازي، ليبيا

Hampel, F. R., Ronchetti, E. M., Rousseeuw, P. J., & Stahel, W. A. (1986). Robust statistics: The approach based on influence functions. John Wiley & Sons.

Huber, P. J. (1964). Robust estimation of a location parameter. The Annals of Mathematical Statistics, 35(1), 73–101. doi:10.1214/aoms/1177703732 DOI: https://doi.org/10.1214/aoms/1177703732

Huber, P. J. (1973). Robust regression: Asymptotics, conjectures and Monte Carlo. The Annals of Statistics, 1(5), 799–821. doi:10.1214/aos/1176342503 DOI: https://doi.org/10.1214/aos/1176342503

Huber, P. J., & Ronchetti, E. M. (2009). Robust statistics (2nd ed.). John Wiley & Sons. doi:10.1002/9780470434697 DOI: https://doi.org/10.1002/9780470434697

Maronna, R. A., Martin, R. D., Yohai, V. J., & Salibián-Barrera, M. (2019). Robust statistics: Theory and methods (with R) (2nd ed.). John Wiley & Sons. doi:10.1002/9781119214656 DOI: https://doi.org/10.1002/9781119214656

Morris, T. P., White, I. R., & Crowther, M. J. (2019). Using simulation studies to evaluate statistical methods. Statistics in Medicine, 38(11), 2074–2102. doi:10.1002/sim.8086 DOI: https://doi.org/10.1002/sim.8086

Rousseeuw, P. J., Daniels, B., & Leroy, A. (1984). Applying robust regression to insurance. Insurance: Mathematics and Economics, 3(1), 67–72. doi:10.1016/0167-6687(84)90020-9 DOI: https://doi.org/10.1016/0167-6687(84)90020-9

Rousseeuw, P. J. (1984). Least median of squares regression. Journal of the American Statistical Association, 79(388), 871–880. doi:10.1080/01621459.1984.10477105 DOI: https://doi.org/10.1080/01621459.1984.10477105

Rousseeuw, P. J., & Leroy, A. M. (1987). Robust regression and outlier detection. John Wiley & Sons. doi:10.1002/0471725382 DOI: https://doi.org/10.1002/0471725382

Rousseeuw, P. J., & Van Driessen, K. (2006). Computing LTS regression for large data sets. Data Mining and Knowledge Discovery, 12, 29–45. doi:10.1007/s10618-005-0024-4 DOI: https://doi.org/10.1007/s10618-005-0024-4

Rousseeuw, P. J., & Yohai, V. J. (1984). Robust regression by means of S-estimators. In J. Franke, W. Härdle, & D. Martin (Eds.), Robust and nonlinear time series analysis (Lecture Notes in Statistics, Vol. 26, pp. 256–272). Springer. doi:10.1007/978-1-4615-7821-5_15 DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4615-7821-5_15

Salibian-Barrera, M., & Yohai, V. J. (2006). A fast algorithm for S-regression estimates. Journal of Computational and Graphical Statistics, 15(2), 414–427. doi:10.1198/106186006X113629 DOI: https://doi.org/10.1198/106186006X113629

Verardi, V., & Croux, C. (2009). Robust regression in Stata. The Stata Journal, 9(3), 439–453. doi:10.1177/1536867X0900900306 DOI: https://doi.org/10.1177/1536867X0900900306

Yohai, V. J. (1987). High breakdown-point and high efficiency robust estimates for regression. The Annals of Statistics, 15(2), 642–656. doi:10.1214/aos/1176350366 DOI: https://doi.org/10.1214/aos/1176350366

Yu, C., & Yao, W. (2017). Robust linear regression: A review and comparison. Communications in Statistics - Simulation and Computation, 46(8), 6261–6282. doi:10.1080/03610918.2016.1202271 DOI: https://doi.org/10.1080/03610918.2016.1202271

• PDF (الإنجليزية)

هذا العمل مرخص بموجب Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.